Cho tam giác $ABC$ nhọn. Từ một điểm $I$ nằm trong tam giác $ABC$ kẻ $IM\bot BC,\,\, IN\bot AC,\,\,
Cho tam giác $ABC$ nhọn. Từ một điểm $I$ nằm trong tam giác $ABC$ kẻ $IM\bot BC,\,\, IN\bot AC,\,\, IK\bot AB$. Đặt $AK = x,\,\, BM = y,\,\, CN = z$. Tìm vị trí của $I$ để tổng $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ nhỏ nhất
Quảng cáo
Đặt $BK = k,\,\, CM = m,\,\, AN = n,\,\, BC = a,\,\, AC = b,\,\, AB = c$
Chứng minh $x^{2} + y^{2} + z^{2} = n^{2} + k^{2} + m^{2}$
Sử dụng bất đẳng thức $x^{2} + y^{2} \geq \dfrac{\left( {x + y} \right)^{2}}{2},\,\,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$
【KINH88】 Trang Chủ Casino & Thể Thao Link Mới
Đặt $BK = k,\,\, CM = m,\,\, AN = n,\,\, BC = a,\,\, AC = b,\,\, AB = c$
Ta có:
$\begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} = AK^{2} + BM^{2} + CN^{2}} \\ {= \left( {IA^{2} - IK^{2}} \right) + \left( {IB^{2} - IM^{2}} \right) + \left( {IC^{2} - IN^{2}} \right)} \\ {= \left( {IA^{2} - IN^{2}} \right) + \left( {IB^{2} - IK^{2}} \right) + \left( {IC^{2} - IM^{2}} \right)} \\ {= n^{2} + k^{2} + m^{2}} \end{array}$
Do đó $2\left( {x^{2} + y^{2} + z^{2}} \right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + n^{2} + k^{2} + m^{2} = \left( {x^{2} + k^{2}} \right) + \left( {y^{2} + m^{2}} \right) + \left( {z^{2} + n^{2}} \right)$
Sử dụng bất đẳng thức $x^{2} + y^{2} \geq \dfrac{\left( {x + y} \right)^{2}}{2},\,\,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$ ta có
$\begin{array}{l} {x^{2} + k^{2} \geq \dfrac{\left( {x + k} \right)^{2}}{2} = \dfrac{AB^{2}}{2} = \dfrac{c^{2}}{2}} \\ {y^{2} + m^{2} \geq \dfrac{\left( {y + m} \right)^{2}}{2} = \dfrac{BC^{2}}{2} = \dfrac{a^{2}}{2}} \\ {z^{2} + n^{2} \geq \dfrac{\left( {z + n} \right)^{2}}{2} = \dfrac{AC^{2}}{2} = \dfrac{b^{2}}{2}} \\ \left. \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \dfrac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} \right. \end{array}$
Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $x = k,\,\, y = m,\,\, z = n$
$\Leftrightarrow$$I$ là giao điểm của 3 đường trung trực của $\Delta ABC$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
