a) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}$, với $x \geq 0;x \neq 9$.b) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca} = 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = 2023\dfrac{a^{2023}}{c^{2023}} + 2024\dfrac{b^{2024}}{c^{2024}} + 2025\dfrac{c^{2025}}{a^{2025}}$

Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức vào lớp 10 môn toán

a) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2\left(

Câu hỏi số 781174:

Vận dụng

a) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}$, với $x \geq 0;x \neq 9$.

b) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca} = 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = 2023\dfrac{a^{2023}}{c^{2023}} + 2024\dfrac{b^{2024}}{c^{2024}} + 2025\dfrac{c^{2025}}{a^{2025}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781174

Phương pháp giải

a) Rút gọn và tách $~P = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} - 2$. Từ đó áp dụng BĐT Côsi.

b) Chứng minh $~a = b = c$. Từ đó tính P.

Giải chi tiết

a) Ta có:

$P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}$

$~ = \dfrac{x\sqrt{x} - 3 - 2{(\sqrt{x} - 3)}^{2} - \left( {\sqrt{x} + 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}$

$~ = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {x + 8} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 3} \right)} = \dfrac{x + 8}{\sqrt{x} + 1}$

$~ = \sqrt{x} - 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} - 2$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có $P \geq 2 \cdot \sqrt{\left( {\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1}} - 2 = 4$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $\left. \sqrt{x} + 1 = \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1}\Leftrightarrow\sqrt{x} + 1 = 3\Leftrightarrow x = 4 \right.$.
Vậy $\text{min}P = 4$ tại $x = 4$.

b) Ta có $a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca} = 0$

$\left. ~\Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt{ab} - 2\sqrt{bc} - 2\sqrt{ca} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} + {(\sqrt{b} - \sqrt{c})}^{2} + {(\sqrt{c} - \sqrt{a})}^{2} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow a = b = c > 0. \right.$

Thay vào $P = 2023 + 2024 + 2025 = 6072$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link