Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = BC = a\) và \(CC' = 2a\). Gọi \(M\)
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = BC = a\) và \(CC' = 2a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(AA'\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B'D'\) và \(MN\) bằng \(m.a\) thì giá trị của \(\sqrt{17}m\) bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách đưa về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ và sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cách 1. Gọi \(P\) là trung điểm \(CD\), \(I = MP \cap AD\), \(J = IN \cap DD'\), \(K = AC \cap MP\).
Ta có \(MP{\rm{//}}BD \Rightarrow MP{\rm{//}}B'D'\)
\( \Rightarrow d\left( {B'D';MN} \right) = d\left[ {B'D';\left( {MNP} \right)} \right] = d\left[ {D';\left( {MNP} \right)} \right]\)
Lại có \(d\left[ {D';\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{{D'J}}{{DJ}}d\left[ {D;\left( {MNP} \right)} \right] = 5\).
Mặt khác \(d\left[ {D;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{{DI}}{{AI}}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{1}{3}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right]\).
Dễ thấy \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {NAK} \right) \bot \left( {MNP} \right)\\\left( {NAK} \right) \cap \left( {MNP} \right) = AK\\AH \bot NK{\rm{ }}\left( {H \in NK} \right){\rm{ trong }}\left( {NAK} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow AH \bot \left( {MNP} \right) \Rightarrow d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = AH\)
Suy ra \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{5}{3}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{5}{3}AH\)
với \(AN = \dfrac{{AA'}}{2} = a\) ; \(AK = \dfrac{3}{4}\sqrt 2 AB = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).
Vậy \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{5}{3}AH = \dfrac{5}{3}.\dfrac{{AN.AK}}{{\sqrt {A{N^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{5}{3}.\dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}\).
Cách 2. Đặt các trục \(Ox\), \(Oy\) và \(Oz\) vào hình như sau
Chọn \(a = 2\), ta có \(M\left( {1;2;0} \right)\), \(N\left( {0;0;2} \right)\), \(B'\left( {0;2;4} \right)\) và \(D'\left( {2;0;4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {B'D'} = \left( {2; - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {MB'} = \left( { - 1;0;4} \right)\)\( \Rightarrow \)\(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {B'D'} } \right] = \left( {4;4;6} \right)\).
Khi đó \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {B'D'} } \right].\overrightarrow {MB'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {B'D'} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).4 + 0.4 + 4.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {6^2}} }} = \dfrac{{10\sqrt {17} }}{{17}} = \dfrac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}\).
Suy ra \(\sqrt{17}.m = 5\)
Đáp án cần điền là: 5
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến Trang Chủ Nhà Cái King88 Tặng 8.888K cùng thầy 88Kinhcom đa sảnh cược giỏi trên 88Kinh.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
