a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^{2} + q^{2} + 4pq + 52$ là số chính phương.b)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^{2} + q^{2} + 4pq + 52$ là số chính phương.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left( {x,y} \right)$ sao cho $5^{x} - 1 = 4y^{4}$.
Quảng cáo
a) Giả sử trong hai số $p,q$ không có số nào bằng 2 , khi đó do $p,q$ là các số nguyên tố nên $p,q$ lẻ, do đó $p^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}4} \right),q^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}4} \right)$, cho nên $p^{2} + q^{2} + 4pq + 52 \equiv 2\left( {\text{mod}4} \right)$ không thể là số chính phương, vì số chính phương chia 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 . Do đó phải có một số bằng 2 , giả sử đó là $p$.
b) Từ phương trình ban đầu $\left. \Leftrightarrow 5^{x} = \left( {2y^{2} - 2y + 1} \right)\left( {2y^{2} + 2y + 1} \right). \right.$
【KINH88】 Trang Chủ Casino & Thể Thao Link Mới
a) Giả sử trong hai số $p,q$ không có số nào bằng 2 , khi đó do $p,q$ là các số nguyên tố nên $p,q$ lẻ, do đó $p^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}4} \right),q^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}4} \right)$, cho nên $p^{2} + q^{2} + 4pq + 52 \equiv 2\left( {\text{mod}4} \right)$ không thể là số chính phương, vì số chính phương chia 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 . Do đó phải có một số bằng 2 , giả sử đó là $p$.
Khi đó $q^{2} + 8q + 56$ là số chính phương, đặt $q^{2} + 8q + 56 = t^{2}\left( {t \in {\mathbb{N}}} \right)$.
Suy ra $\left( {t - q - 4} \right)(t +$ $q + 4) = 40$.
Vì vậy, $t - q - 4$ và $t + q + 4$ đều là ước của 40, hơn nữa $t - q - 4 < t + q + 4$ và $t - q - 4,t + q + 4$ cùng tính chẵn lẻ. Xét bảng sau
Vậy $\left( {p,q} \right) \in \left\{ {\left( {2;5} \right),\left( {5;2} \right)} \right\}\text{.~}$
b) Ta có
$5^{x} - 1 = 4y^{4}$
$\left. \Leftrightarrow 5^{x} = 4y^{4} + 1 \right.$
$\left. \Leftrightarrow 5^{x} = \left( {2y^{2} + 1} \right)^{2} - {(2y)}^{2} \right.$
$\left. \Leftrightarrow 5^{x} = \left( {2y^{2} - 2y + 1} \right)\left( {2y^{2} + 2y + 1} \right). \right.$
Do đó $\left\{ {\begin{array}{l} {2y^{2} - 2y + 1 = 5^{a}} \\ {2y^{2} + 2y + 1 = 5^{b}} \end{array}\ (a,b \in {\mathbb{N}},a < b,a + b = x)} \right.$
Suy ra $\left( {2y^{2} - 2y + 1} \right) \mid \left( {2y^{2} + 2y + 1} \right)$ (1)
Hay $2y^{2} - 2y + 1 \mid 4y$. Thử với $y = 1,2,3$ được cặp $\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)$ thỏa mãn.
Với $y > 3$ thì $4y - \left( {2y^{2} - 2y + 1} \right) = - 2y\left( {y - 4} \right) - 1 < 0$, mà $2y^{2} - 2y + 1,4y$ đều dương nên $\left( {2y^{2} - 2y + 1} \right) \nmid 4y$, mâu thuẫn (1).
Vậy $\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
