a) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} - 4mx - 3 = 0$
a) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} - 4mx - 3 = 0$ có hai nghiệm nguyên phân biệt.
b) Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{3} = 2b^{4} + a^{2}b$. Chứng minh $a$ chia hết cho $b$.
Quảng cáo
a) Tính PT luôn có hai nghiệm (thực) phân biệt $x_{1} = 2m - \sqrt{4m^{2} + 3}$ và $x_{2} = 2m + \sqrt{4m^{2} + 3}$.
b) Trước hết, ta sẽ chứng minh $a$ và $b$ cùng tính chẵn lẻ. Thật vậy, nếu $a$ là số lẻ thì dễ dàng chứng minh được $b$ cũng là số lẻ. Nếu $a$ là số chẵn thì từ $2b^{4} = a^{2}\left( {a - b} \right):4$ ta thu được $b$ là số chẵn.
a) Phương trình $x^{2} - 4mx - 3 = 0$ là phương trình bậc hai theo $x$ có biệt thức
$= {( - 2m)}^{2} + 3 = 4m^{2} + 3 \geq 3 > 0.$
PT luôn có hai nghiệm (thực) phân biệt $x_{1} = 2m - \sqrt{4m^{2} + 3}$ và $x_{2} = 2m + \sqrt{4m^{2} + 3}$.
Do $x_{1} + x_{2} = 4m$ nên để $x_{1},x_{2} \in {\mathbb{Z}}$ thì $m = \dfrac{a}{4}$ với $a \in {\mathbb{Z}}$.
Khi đó $x_{1} = \dfrac{a + \sqrt{a^{2} + 12}}{2},\ x_{2} = \dfrac{a - \sqrt{a^{2} + 12}}{2}.$
Vì $a \in {\mathbb{Z}}$ nên điều kiện cần để $x_{1},x_{2} \in {\mathbb{Z}}$ là $12 + a^{2}$ là số chính phương (vì căn bậc hai của một số tự nhiên là số tự nhiên hoặc số vô tỉ).
Suy ra, tồn tại số nguyên dương $b$ sao cho $\left. 12 + a^{2} = b^{2}\Leftrightarrow\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = - 12. \right.$
Do $a - b < a + b$ và $\left( {a - b} \right) + \left( {a + b} \right) = 2a$ là số chẵn nên suy ra
$\left\{ \begin{array}{l} {a - b = - 6} \\ {a + b = 2} \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {a - b = - 2} \\ {a + b = 6.} \end{array} \right.$
Suy ra, $a = - 2,b = 4$ hoặc $a = 2,b = 4$.
Như thế, $4m \in \left\{ {- 2,2} \right\}$ nên $m \in \left\{ {- \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right\}$.
Thử lại, với $m = - \dfrac{1}{2}$ thì PT có 2 nghiệm nguyên là 1 và -3 với $m = \dfrac{1}{2}$ thì PT có 2 nghiệm nguyên là -1 và 3 .
b) Trước hết, ta sẽ chứng minh $a$ và $b$ cùng tính chẵn lẻ. Thật vậy, nếu $a$ là số lẻ thì dễ dàng chứng minh được $b$ cũng là số lẻ. Nếu $a$ là số chẵn thì từ $2b^{4} = a^{2}\left( {a - b} \right):4$ ta thu được $b$ là số chẵn.
Ta có $a^{3} = 2b^{4} + a^{2}b = b\left( {2b^{3} + a^{2}} \right)$ nên $a^{3}$ chia hết cho $b$.
Ngoài ra, do $\dfrac{a - b}{2} = \left( \dfrac{b^{2}}{a} \right)^{2}$ và $a,b$ cùng tính chẵn lẻ nên $b^{2}:a$.
Vì vậy $a$ và $b$ có cùng tập ước nguyên tố, giả sử đó là $\left\{ {p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}} \right\}$.
Đặt $a = p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}\cdots p_{n}^{\alpha_{n}},b = p_{1}^{\beta_{1}}p_{2}^{\beta_{2}}\cdots p_{n}^{\beta_{n}}$
trong đó $\alpha_{i},\beta_{i}$ là các số nguyên dương.
Nếu tồn tại $i \in \left\{ {1,2,\ldots,n} \right\}$ sao cho $\alpha_{i} < \beta_{i}$, chia hai vế của đẳng thức (1) cho $p_{i}^{3\alpha_{i}}$,
Ta nhận thấy vế trái của (2) không chia hết cho $p_{i}$, trong khi đó vế phải của (2) chia hết cho $p_{i}$ (do $\beta_{i} > \alpha_{i}$ ). Từ đó, ta có điều mâu thuẫn. Vì vậy $\alpha_{i} \geq \beta_{i}$, với mọi $i = \overline{1,n}$.
Vậy $a$ chia hết cho $b$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
