Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Gọi \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \(\left( E \right),\) và điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho \(M{F_1} \bot M{F_2}\). Tính \(MF_1^2 + MF_2^2\) và diện tích \(\Delta M{F_1}{F

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Gọi

Câu hỏi số 413088:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1.\) Gọi \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \(\left( E \right),\) và điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho \(M{F_1} \bot M{F_2}\). Tính \(MF_1^2 + MF_2^2\) và diện tích \(\Delta M{F_1}{F_2}\).

A. \(MF_1^2 + MF_2^2 = 6\,\,\,;\,\,\,{S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}\)

B. \(MF_1^2 + MF_2^2 = 8\,\,\,;\,\,\,{S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{2}{3}\)

C. \(MF_1^2 + MF_2^2 = 12\,\,\,;\,\,\,{S_{M{F_1}{F_2}}} = 1\)

D. \(MF_1^2 + MF_2^2 = 16\,\,\,;\,\,\,{S_{M{F_1}{F_2}}} = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:413088

Phương pháp giải

Sử dụng Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có \({b^2} + {c^2} = {a^2}\) và hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)

Với \(M \in \left( E \right)\) thì \(M{F_1} + M{F_2} = 2a.\)

Giải chi tiết

Xét \(\left( E \right):\;\;\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\) có \(a = 2;b = 1\) \( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2}\) \( = 4 - 1 = 3\) \( \Rightarrow c = \sqrt 3 \)

Hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \)

Xét \(\Delta {F_1}M{F_2}\) vuông tại \(M\) (do \(M{F_1} \bot M{F_2}\)), theo định lý Pytago ta có: \(MF_1^2 + MF_2^2 = {F_1}F_2^2\)

\( \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}\) \( \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 = 12\)

Ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 4\) và \(MF_1^2 + MF_2^2 = 12\)

Do đó: \({\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^2} = 16\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow MF_1^2 + MF_2^2 + 2M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow 12 + 2.M{F_1}.M{F_2} = 16\\ \Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = 2\end{array}\)

Vì tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại \(M\) nên \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \frac{1}{2}M{F_1}.M{F_2}\) \( = \frac{1}{2}.2 = 1\) (đơn vị diện tích)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp cùng thầy 88Kinhcom đa sảnh cược giỏi tại 88Kinh.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.