Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(2a.\) Tính bán kính \(R\)
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(2a.\) Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao của đường trung trực 1 cạnh bên và chiều cao của hình chóp.
Từ đó sử dụng tam giác đồng dạng để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều.
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) và \(E\) là trung điểm \(SB.\)
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Trong \(\left( {SBO} \right)\) kẻ đường trung trực của \(SB\) cắt \(SO\) tại \(I\), khi đó \(IA = IB = IC = ID = IS\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và bán kính mặt cầu là \(R = IS.\)
Ta có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a \Rightarrow BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = 2a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \frac{{BD}}{2} = a\sqrt 2 .\)
Ta có \(SA = SB = SC = SD = 2a\) (vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều) nên \(SE = EB = \frac{{2a}}{2} = a\)
Xét tam giác \(SBO\) vuông tại \(O\) (vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OB\)) có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}} = a\sqrt 2 .\)
Ta có \(\Delta SEI\) đồng dạng với tam giác \(SOB\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SE}}{{SO}} \Leftrightarrow IS = \frac{{SB.SE}}{{SO}} = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2 a.\)
Vậy bán kính \(R = a\sqrt 2 .\)
Các em có thể sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều có cạnh bên là \(a\) và chiều cao \(h\) là \(R = \frac{{{a^2}}}{{2h}}\) .
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại 88Kinh.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức chuyên sâu; King88 vn club nhà cái bóng đá world cup đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
