Cho hình nón có bán kính đáy $OA = 6cm$ và chiều cao $SO = 8cm$. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt
【KINH88】 Trang Chủ Casino & Thể Thao Link Mới
Cho hình nón có bán kính đáy $OA = 6cm$ và chiều cao $SO = 8cm$. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục SO và cách trục SO một khoảng bằng 3cm ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh S bằng bao nhiêu $cm^{3}$? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục).
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp tính thể tích vật thể bằng tích phân: $V = {\int_{a}^{b}S}(x)dx$.
Trong đó $S(x)$ là diện tích thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục cao độ tại điểm có hoành độ $x$.
【KINH88】 Trang Chủ Casino & Thể Thao Link Mới
Gọi x là khoảng cách từ mặt phẳng đáy của hình nón đến thiết diện đang xét ($0 \leq x \leq 8$).
Tại x, gọi r là bán kính của đường tròn thiết diện song song với đáy.
Ta có tỉ số $\left. \dfrac{r}{6} = \dfrac{8 - x}{8}\Rightarrow r = \dfrac{6}{8}(8 - x) = 6 - \dfrac{3}{4}x \right.$
Mặt phẳng cắt song song với trục SO và cách trục một khoảng $d = 3$ cm.
Để mặt phẳng này có thể cắt được hình nón, yêu cầu bán kính thiết diện $r \geq 3$:
$\left. 6 - \dfrac{3}{4}x \geq 3\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}x \leq 3\Leftrightarrow x \leq 4 \right.$
Vậy phần vật thể không chứa đỉnh S nằm trong khoảng từ $x = 0$ đến $x = 4$
Thiết diện tại mỗi cao độ x là một hình viên phân của đường tròn bán kính r, giới hạn bởi dây cung MN cách tâm I một khoảng bằng 3.
Gọi $\alpha$ là góc ở tâm. Ta có $\left. \cos\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{3}{r}\Rightarrow\dfrac{\alpha}{2} = \arccos\left( \dfrac{3}{r} \right) \right.$
=> Diện tích hình quạt: $S_{q} = \dfrac{\alpha}{2} \cdot r^{2} = r^{2} \cdot \arccos\left( \dfrac{3}{r} \right)$
Có $MN = 2\sqrt{r^{2} - 3^{2}} = 2\sqrt{r^{2} - 9}$
=> Diện tích IMN: $S_{\bigtriangleup IMN} = \dfrac{1}{2}.3.MN = 3\sqrt{r^{2} - 9}$
Diện tích thiết diện: $S(x) = S_{q} - S_{\bigtriangleup IMN} = r^{2}\arccos\left( \dfrac{3}{r} \right) - 3\sqrt{r^{2} - 9}$
Thể tích cần tìm là:
$\begin{array}{l} {V = {\int_{0}^{4}S}(x)dx = {\int_{0}^{4}{\left( {r^{2}\arccos\left( \dfrac{3}{r} \right) - 3\sqrt{r^{2} - 9}} \right)dx}}} \\ {= {\int_{0}^{4}\left\lbrack {\left( {6 - \dfrac{3}{4}x} \right)^{2}\arccos\left( \dfrac{3}{6 - \dfrac{3}{4}x} \right) - 3\sqrt{\left( {6 - \dfrac{3}{4}x} \right)^{2} - 9}} \right\rbrack}dx \approx 33,2} \end{array}$
Đáp án cần điền là: 33,2
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại 88Kinh.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức chuyên sâu; King88 vn club nhà cái bóng đá world cup đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
