Cho nửa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc nửa
Cho nửa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho ($M$ khác $A$ và $B$), $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$. Đường thẳng qua $O$ và song song với $MA$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $K$.
a) Chứng minh tứ giác $OBKM$ nội tiếp.
b) Gọi $C,D$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các đường thẳng $MA$ và $MB$. Gọi $I$ là giao điểm của $AK$ và $MH$. Chứng minh $I$ là trung điểm $CD$.
c) Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BH$. Xác định vị trí của điểm $M$ để diện tích tứ giác $CDFE$ đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\widehat{KMO} = \widehat{KBO} = 90^{0}$
Suy ra tứ giác $OBKM$ nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{0}$)
b) Gọi $N$ là giao điểm của $BK$ và $AM$.
Vì $AN \parallel OK$, mà $O$ là trung điểm $AB$ nên $K$ là trung điểm $NB$.
Áp dụng định lý Thales.
c) Chứng minh $\Delta IEC = \Delta IEH\left( {\text{c} - \text{c} - \text{c}} \right)$
$\left. ~\Rightarrow\widehat{ICE} = \widehat{IHE} = 90^{0} \right.$ (hai góc tương ứng)
Tương tự, ta chứng minh được $\widehat{IDF} = 90^{0}$
$\left. \Rightarrow CDFE \right.$ là hình thang vuông.
Tính diện tích của hình thang vuông $CDFE$.
【KINH88】 Trang Chủ Casino & Thể Thao Link Mới
a) Ta có $OM = OB$, mà $OK\bot MB$ nên $OK$ là đường trung trực của đoạn $MB$. Khi đó: $KB = KM$, mà $KB$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $\Delta OMK = \Delta OBK$ (c-c-c).
$\left. \Rightarrow\widehat{KMO} = \widehat{KBO} = 90^{0} \right.$
$\Rightarrow$ Tứ giác $OBKM$ nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{0}$)
b) Gọi $N$ là giao điểm của $BK$ và $AM$.
Vì $AN \parallel OK$, mà $O$ là trung điểm $AB$ nên $K$ là trung điểm $NB$.
Áp dụng định lý Thales, ta có: $\left. \dfrac{IM}{IH} = \dfrac{KN}{KB} = 1\Rightarrow IM = IH \right.$ hay $I$ là trung điểm của $MH$.
Vì $MCHD$ là hình chữ nhật nên $I$ cũng là trung điểm $CD$.
c) Vì $MCHD$ là hình chữ nhật nên $IC = IH$.
Xét tam giác $ACH$ vuông tại $C$ có $E$ là trung điểm $AH$, ta có: $CE = \dfrac{1}{2}AH = EH$.
Xét hai tam giác $IEC$ và $IEH$, ta có:
Cạnh $IE$ chung
$IC = IH$
$EC = EH$
$\left. \Rightarrow\Delta IEC = \Delta IEH\left( {\text{c} - \text{c} - \text{c}} \right) \right.$
$\left. ~\Rightarrow\widehat{ICE} = \widehat{IHE} = 90^{0} \right.$ (hai góc tương ứng)
Tương tự, ta chứng minh được $\widehat{IDF} = 90^{0}$
$\left. \Rightarrow CDFE \right.$ là hình thang vuông.
Diện tích của hình thang vuông $CDFE$ là
$S = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {CE + DF} \right) \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{2}AH + \dfrac{1}{2}BH} \right) \cdot MH = \dfrac{1}{4} \cdot AB \cdot MH$
Mặt khác: $MH \leq MO = R$ suy ra $S \leq \dfrac{1}{4} \cdot AB \cdot MO = \dfrac{R^{2}}{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $S$ là $\dfrac{R^{2}}{2}$ khi $H \equiv O$ hay $MO\bot AB$ nên $M$ là điểm chính giữa của nửa đường tròn $(O)$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
