a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^{2} + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + ac} + \dfrac{1}{c^{2} + ab} \leq \dfrac{a + b + c}{2abc}.$b) Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy \geq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x}{y + 1} + \dfrac{y}{x + 1} + \dfrac{1}{xy + 1}.$

Trang chủ

Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức vào lớp 10 môn toán

a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^{2} + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + ac} +

Câu hỏi số 781177:

Vận dụng

a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương.

Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^{2} + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + ac} + \dfrac{1}{c^{2} + ab} \leq \dfrac{a + b + c}{2abc}.$

b) Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy \geq 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x}{y + 1} + \dfrac{y}{x + 1} + \dfrac{1}{xy + 1}.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781177

Phương pháp giải

a) Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$

b) Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel.

Sử dụng ${(x + y)}^{2} \geq 4xy$

Đặt $t = x + y \geq 2\sqrt{xy} \geq 2$.

Giải chi tiết

a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với $\dfrac{2abc}{a^{2} + bc} + \dfrac{2abc}{b^{2} + ac} + \dfrac{2abc}{c^{2} + ab} \leq a + b + c$ (1)
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta có $\left. a^{2} + bc \geq 2a\sqrt{bc}\Rightarrow\dfrac{2abc}{a^{2} + bc} \leq \sqrt{bc} \right.$.
Tương tự suy ra $\dfrac{2abc}{a^{2} + bc} + \dfrac{2abc}{b^{2} + ac} + \dfrac{2abc}{c^{2} + ab} \leq \sqrt{bc} + \sqrt{ac} + \sqrt{ab}$ (2)
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta có $a + b \geq 2\sqrt{ab}$
Tương tự suy ra $\sqrt{bc} + \sqrt{ac} + \sqrt{ab} \leq a + b + c$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.

b) Ta có $\dfrac{x}{y + 1} + \dfrac{y}{x + 1} + \dfrac{1}{xy + 1} = \dfrac{x^{2}}{xy + x} + \dfrac{y^{2}}{xy + y} + \dfrac{1}{xy + 1}$$\geq \dfrac{{(x + y)}^{2}}{2xy + x + y} + \dfrac{1}{xy + 1}$ (1) (BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel).

Sử dụng ${(x + y)}^{2} \geq 4xy$ suy ra

$\dfrac{{(x + y)}^{2}}{2xy + x + y} + \dfrac{1}{xy + 1} \geq \dfrac{{(x + y)}^{2}}{\dfrac{{(x + y)}^{2}}{2} + x + y} + \dfrac{1}{\dfrac{{(x + y)}^{2}}{4} + 1} = \dfrac{2\left( {x + y} \right)}{x + y + 2} + \dfrac{4}{{(x + y)}^{2} + 4}$

Đặt $t = x + y \geq 2\sqrt{xy} \geq 2$.
Ta thấy $\left. \dfrac{2t}{t + 2} + \dfrac{4}{t^{2} + 4} \geq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{{(t - 2)}^{3}}{2\left( {t + 2} \right)\left( {t^{2} + 4} \right)} \geq 0 \right.$ luôn đúng với mọi $t \geq 2$.
Vậy $\text{min}P = \dfrac{3}{2}$ tại $x = y = 1$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link