Với $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $xy + yz + zx = 5$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6\left( {x^{2} + 5} \right)} + \sqrt{6\left( {y^{2} + 5} \right)} + \sqrt{\left( {z^{2} + 5} \right)}}$.

Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức vào lớp 10 môn toán

Với $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $xy + yz + zx = 5$.Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 780663:

Vận dụng

Với $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $xy + yz + zx = 5$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6\left( {x^{2} + 5} \right)} + \sqrt{6\left( {y^{2} + 5} \right)} + \sqrt{\left( {z^{2} + 5} \right)}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780663

Phương pháp giải

Thay $xy + yz + zx = 5$ vào P rồi phân tích mẫu dưới dạng tích, sau đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM với từng mẫu từ đó rút gọn P.

Giải chi tiết

Vì $xy + yz + zx = 5$ nên ta có:

$P = \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6\left( {x^{2} + 5} \right)} + \sqrt{6\left( {y^{2} + 5} \right)} + \sqrt{z^{2} + 5}}$

$= \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6\left( {x^{2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt{6\left( {y^{2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt{z^{2} + xy + yz + z}}$

$= \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6(x + y)(x + z)} + \sqrt{6(x + y)(y + z)} + \sqrt{(z + x)(y + z)}}$

Áp dụng bất đẳng AM-GM ta có

$\sqrt{6(x + y)(x + z)} = \sqrt{3(x + y) \cdot 2(x + z)} \leq \dfrac{1}{2}(5x + 3y + 2z).$

$\sqrt{6(x + y)(y + z)} = \sqrt{3(x + y) \cdot 2(y + z)} \leq \dfrac{1}{2}(3x + 5y + 2z).$

$\sqrt{(z + x)(y + z)} \leq \dfrac{1}{2}(x + y + 2z)$

$P \geq \dfrac{2(3x + 3y + 2z)}{9x + 9y + 6z} = \dfrac{2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} {x = y} \\ {2x = z} \\ {xy + yz + zx = 5} \end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {x = y = 1} \\ {z = 2} \end{array} \right.$ (do $x,y,z$ là các số thực dương).

Vậy $\min P = \dfrac{2}{3}$ khi $x = y = 1,z = 2$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link