Bác An muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy \(ABCD\) là hình vuông như hình dưới đây. Để món quà trở nên đặc biệt , bác An muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy dưới (mặt \(MNPQ\)) của chiếc hộp bằng kim loại quý (không mạ nắp hộp). Em hãy tìm độ dài cạnh \(MN\) của mặt đáy và chiều cao \(AM\) của hộp quà sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất biết rằng thể tích của chiếc hộp là \(4d{m^3}\).

Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức vào lớp 10 môn toán

Bác An muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng

Câu hỏi số 779348:

Vận dụng

Bác An muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy \(ABCD\) là hình vuông như hình dưới đây.

Để món quà trở nên đặc biệt , bác An muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy dưới (mặt \(MNPQ\)) của chiếc hộp bằng kim loại quý (không mạ nắp hộp). Em hãy tìm độ dài cạnh \(MN\) của mặt đáy và chiều cao \(AM\) của hộp quà sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất biết rằng thể tích của chiếc hộp là \(4d{m^3}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779348

Phương pháp giải

Gọi độ dài cạnh \(MN\) là \(x\left( {dm} \right)\)(\(x > 0\))

Gọi độ dài chiều cao \(AM\) là \(h\left( {dm} \right)\)(\(h > 0\))

Do thể tích của chiếc hộp là 4dm³ nên ta có: \({x^2}h = 4\)

Suy ra \(h = \dfrac{4}{{{x^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si.

Giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh \(MN\) là \(x\left( {dm} \right)\)(\(x > 0\))

Gọi độ dài chiều cao \(AM\) là \(h\left( {dm} \right)\)(\(h > 0\))

Do thể tích của chiếc hộp là 4dm³ nên ta có: \({x^2}h = 4\)

Suy ra \(h = \dfrac{4}{{{x^2}}}\)

Diện tích cần mạ kim loại quý của chiếc hộp là :

\(\begin{array}{l}S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x.\dfrac{4}{{{x^2}}} = {x^2} + \dfrac{{16}}{x}\\\,\,\,\, = \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {4x + \dfrac{{16}}{x}} \right) - 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {4x + \dfrac{{16}}{x}} \right) - 4\end{array}\)

Chứng minh bất đẳng thức Cô – si.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 2 số \(4x > 0\) và \(\dfrac{{16}}{x} > 0\) và \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\)ta có :

\(S \ge 0 + 2\sqrt {4x.\dfrac{{16}}{{4x}}} - 4 = 0 + 2.8 - 4 = 12\)

Dấu « = » xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\4x = \dfrac{{16}}{{4x}}\end{array} \right.\)

Ta giải ra được \(x = 2\) từ đó suy ra \(h = \dfrac{4}{{{2^2}}} = 1\)

Vậy khi độ dài cạnh đáy \(MN = 2dm\)và chiều cao \(AM = 1dm\) thì diện tích cần mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất bằng \(12d{m^2}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link