Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh
Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\dfrac{3}{2}\)chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(54\sqrt 3 \pi \,\,\left( {d{m^3}} \right)\). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Đưa bài toán về tính thể tích hình nón bằng cách xác định bán kính, chiều cao và áp dụng công thức.
Xét một thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ.
Hình thang cân \(ABCD\) (\(IJ\) là trục đối xứng) là thiết diện của cái thùng nước, hình tròn tâm \(I\) bán kính \(IH\) là thiết diện của khối cầu. Các đường thẳng \(AD\), \(BC\), \(IJ\) đồng qui tại \(E\).
Đặt bán kính của khối cầu là \(IH = R\), bán kính mặt đáy của thùng là \(JD = r\), chiều cao của thùng là \(IJ = h\). Ta có
\(\dfrac{2}{3}\pi {R^3} = 54\sqrt 3 \pi \Leftrightarrow R = 3\sqrt 3 \),
\(\dfrac{3}{2}h = 2R = 6\sqrt 3 \Leftrightarrow h = 4\sqrt 3 \).
\(\dfrac{{EJ}}{{EI}} = \dfrac{{JC}}{{IB}} = \dfrac{r}{{3r}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow EJ = 2\sqrt 3 \),
\(\dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{I{A^2}}} + \dfrac{1}{{I{E^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{27}} = \dfrac{1}{{9{r^2}}} + \dfrac{1}{{108}} \Leftrightarrow r = 2\).
Suy ra thể tích của thùng nước là \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi I{A^2}.IE - \dfrac{1}{3}\pi J{D^2}.JE = \dfrac{{208\sqrt 3 \pi }}{3}\).
Vậy thể tích nước còn lại trong thùng là \(V = \dfrac{{208\sqrt 3 \pi }}{3} - 54\sqrt 3 \pi = \dfrac{{46\sqrt 3 \pi }}{3}\,\,\left( {d{m^3}} \right)\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại 88Kinh.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức chuyên sâu; King88 vn club nhà cái bóng đá world cup đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
