Xét số phức \(z\) có phần ảo khác 0 sao cho \(\dfrac{z}{{{z^2} + 4}}\) là số thực và số phức \(w\)
Xét số phức \(z\) có phần ảo khác 0 sao cho \(\dfrac{z}{{{z^2} + 4}}\) là số thực và số phức \(w\) thỏa mãn \(\left| {iw + 1 - 5i} \right| = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z^2} + wz - 4} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(z = x + yi\), với \(x,y \in \mathbb{R}\) và \(y \ne 0\).
Vì \(\dfrac{z}{{{z^2} + 4}}\) là số thực nên \(\dfrac{z}{{{z^2} + 4}} = \overline {\left( {\dfrac{z}{{{z^2} + 4}}} \right)} \Leftrightarrow z\left( {{{\overline z }^2} + 4} \right) = \overline z \left( {{z^2} + 4} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow z\overline z \left( {\overline z - z} \right) + 4\left( {z - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overline z - z} \right)\left( {|z{|^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline z - z = 0}\\{|z{|^2} - 4 = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vì \(z\) có phần ảo khác 0 nên \(\overline z - z = - 2yi \ne 0\).
Từ (*) suy ra \(|z{|^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\) (**)
Và \(P = \left| {{z^2} + wz - 4} \right| = \left| {{z^2} + wz - {{\left| z \right|}^2}} \right|\)
\( = \left| {{z^2} + wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|.\left| {z + w - \overline z } \right| = 2.\left| {2yi - \left( { - w} \right)} \right|\) (***)
Ta có \(\left| {iw + 1 - 5i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| { - w + i + 5} \right| = 4\).
Suy ra tập hợp tất cả các điểm \(M\) biểu diễn cho số phức \( - w\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 5; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 4\).
Từ (**) suy ra \( - 2 \le y \le 2 \Leftrightarrow - 4 \le 2y \le 4\).
Hay tập hợp tất cả các điểm \(N\) biểu diễn cho số phức \(2yi\) là đoạn thẳng \(AB\), với \(A\left( {0; - 4} \right),B\left( {0;4} \right)\).
Từ (***) suy ra \(P = 2MN\).
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi \(M \equiv H\) và \(N \equiv K\), với \(H\left( { - 1; - 1} \right),K\left( {0; - 1} \right)\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là 2 .
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại 88Kinh.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức chuyên sâu; King88 vn club nhà cái bóng đá world cup đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
