Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Một hình tứ diện đều có hai đỉnh nằm trên
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Một hình tứ diện đều có hai đỉnh nằm trên đường thẳng \(AC'\), hai đỉnh còn lại nằm trên đường thẳng \(BA'\). Tính thể tích của tứ diện đó.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Đường vuông góc của tứ diện đều chính là đường vuông góc chung của 2 đường AC’ và BA’
Gọi M, N thuộc AC’ và P, Q thuộc A’C để MPNQ là hình tứ diện đều cạnh x
Gọi E là trung điểm MN, gọi F là trung điểm PQ
Do MPNQ là tứ diện đều nên suy ra EF là đường vuông góc chung của PQ và MN
Hay EF là đường vuông góc chung của AC’ và A’B
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với A’ là gốc tọa độ, trục Ox trùng A’B’, trục Oy trùng A’D’ và Oz trùng AA’
Khi đó ta có \(A'\left( {0,0,0} \right),B'\left( {1,0,0} \right),C'\left( {1,1,0} \right),B\left( {1,0,1} \right),A\left( {0,0,1} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AC'} \left( {1,1, - 1} \right);\overrightarrow {A'B} \left( {1,0,1} \right);\overrightarrow {AA'} \left( {0,0, - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC'} ;\overrightarrow {A'B} } \right] = \left( {1, - 2, - 1} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AC',A'B} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC'} ;\overrightarrow {A'B} } \right]\overrightarrow {AA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC'} ;\overrightarrow {A'B} } \right]} \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }} = EF\end{array}\)
Ta có \(EF = \sqrt {E{Q^2} - Q{F^2}} = \sqrt {\dfrac{3}{4}{x^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\( \Rightarrow {V_{MPNQ}} = \dfrac{{{x^3}}}{{6\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{108}}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại 88Kinh.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức chuyên sâu; King88 vn club nhà cái bóng đá world cup đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
