Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau. Điểm
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau. Điểm \(E\) thay đổi thuộc đoạn \(OC,\) nối \(AE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\).
a) Chứng minh 4 điểm \(O,B,M,E\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh \(AE.AM\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(E\) trên đoạn \(OC\).
c) Xác định vị trí của \(E\) trên đoạn \(OC\) để \(MA = 2MB\).
d) Xác định vị trí của điểm \(E\) trên đoạn \(OC\) để chu vi \(\Delta MAB\) đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
a) \(O,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BE\)
b) \(\Delta AOE \sim \Delta AMB\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow AE.AM = 2{R^2}\) không đổi
c) \(\Delta AOE \sim \Delta AMB\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow OE = \dfrac{{OC}}{2}\)
\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(OC\)
d) Ta có: \({C_{\Delta MAB}} = AB + AM + MB = 2R + AM + MB\)
Vì \(AB = 2R\) không đổi nên \({C_{\Delta MAB}}\max \Leftrightarrow \left( {AM + MB} \right)\max \)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm \(\left( {AM + MB} \right)\max \)
a) Ta có: \(AB \bot CD\) tại \(O \Rightarrow \angle BOC = {90^0} \Rightarrow \angle BOE = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta BOE\) vuông tại \(O \Rightarrow O\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\)
\(M\) thuộc đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \angle AMB = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta BME\) vuông tại \(M \Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\)
Vậy \(O,M\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\) nên bốn điểm \(B,M,E,O\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta AMB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle BAM\,\,\,chung\\\angle AOE = \angle AMB = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AOE \sim \Delta AMB\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AO}}{{AM}}\\ \Rightarrow AE.AM = AO.AB = R.2R = 2{R^2}\end{array}\)
Mà \(R\) không đổi nên \(AE.AM\) không đổi khi \(E\) thay đổi.
c) Ta có: \(\Delta AOE \sim \Delta AMB\left( {cmt} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{AM}} = \dfrac{{OE}}{{MB}}\\ \Rightarrow OE = \dfrac{{AO.BM}}{{AM}} = \dfrac{{R.BM}}{{2BM}} = \dfrac{R}{2} = \dfrac{{OC}}{2}\end{array}\)
Lại có: \(E \in OC\)
\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(OC\)
d) Ta có: \({C_{\Delta MAB}} = AB + AM + MB = 2R + AM + MB\)
Vì \(AB = 2R\) không đổi nên \({C_{\Delta MAB}}\max \Leftrightarrow \left( {AM + MB} \right)\max \)
Ta có: \({\left( {MA + MB} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2A{B^2}\) (vì \(\Delta AMB\) vuông tại \(M \Rightarrow A{B^2} = M{A^2} + M{B^2}\) (định lý Py – ta – go)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2{\left( {2R} \right)^2}\\ \Leftrightarrow MA + MB \le 2\sqrt 2 R\\ \Leftrightarrow MA + MB + AB \le 2\sqrt 2 R + AB\\ \Leftrightarrow {C_{\Delta MAB}} \le 2\sqrt 2 R + 2R\\ \Leftrightarrow {C_{\Delta MAB}} \le 2R\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow AM = BM\)
Mà \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\)
\( \Rightarrow \Delta MAB\) là tam giác vuông cân
\( \Rightarrow E \equiv C\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
