Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\). Trên nửa đường tròn lấy điểm \(C\)
Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R\). Trên nửa đường tròn lấy điểm \(C\) bất kì (khác \(A\) và \(B\)). Tiếp tuyến tại \(C\) và tiếp tuyến tại \(A\) cắt nhau tại \(M\).
a) Chứng minh bốn điểm \(O,A,M,C\) cùng thuộc một đường tròn.
b) \(AC\) cắt \(OM\) tại \(H\), chứng minh \(AC\) vuông góc với \(OM\) và \(OH.OM = {R^2}\)
c) Tia \(BH\) cắt nửa đường tròn tại \(D\). Chứng minh tam giác \(ODM\) đồng dạng với tam giác \(OHD\).
d) Tia \(AD\) cắt tia \(MH\) tại \(I\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MH.\)
Quảng cáo
a) \(A,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
c) \(\Delta DOM \sim \Delta OHD\left( {c.g.c} \right)\)
d) \(\Delta IAM \sim \Delta IMD\left( {g.g} \right) \Rightarrow I{M^2} = IA.ID\)
\(\Delta IHA\) vuông tại \(H,HD\) là đường cao:\(I{H^2} = ID.IA\)
a) \(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow MA \bot AO \Rightarrow \Delta MAO\) vuông tại \(A\)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\)
\(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow MC \bot CO \Rightarrow \Delta MCO\) vuông tại \(C\)
\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\)
Do đó, \(A,C\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\)
\( \Rightarrow A,O,C,M\) cùng thuộc một đường tròn
b) * \(MA,MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A,C\)
\( \Rightarrow MA = MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có: \(OA = OC = R\)
\( \Rightarrow MO\) là đường trung trực của \(AC\)
\( \Rightarrow MO \bot AC\)
* Ta có: \(MO \bot AC\left( {cmt} \right);MO \cap AC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow AH \bot MO\)
\(\Delta MAO\) vuông tại \(A\), \(AH \bot MO\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:\(A{O^2} = OH.OM\)
Mà \(AO = R\)
\( \Rightarrow OH.OM = {R^2}\)
c) Ta có: \(A{O^2} = OH.OM\left( {cmt} \right)\) mà \(AO = DO = R\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow D{O^2} = OH.OM\\ \Rightarrow \dfrac{{DO}}{{OM}} = \dfrac{{OH}}{{DO}}\end{array}\)
Xét \(\Delta ODM\) và \(\Delta OHD\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle DOM\,\,\,chung\\\dfrac{{DO}}{{OM}} = \dfrac{{OH}}{{DO}}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DOM \sim \Delta OHD\left( {c.g.c} \right)\)
d) \(\Delta ODM \sim \Delta OHD\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle ODH = \angle OMD\)
Mà \(\angle ODH = \angle OBD\) (vì tam giác \(OBD\) cân tại \(O\))
Ta có: \(\angle OBD = \angle DAM\) (cùng phụ với \(\angle DAB\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DAM = \angle OMD\\ \Rightarrow \angle IAM = \angle IMD\end{array}\)
\(\Delta IAM \sim \Delta IMD\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IM}} = \dfrac{{IM}}{{ID}} \Rightarrow I{M^2} = IA.ID\)
\(\Delta IHA\) vuông tại \(H,HD\) là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(I{H^2} = ID.IA\)
Vậy \(I{M^2} = I{H^2} = IA.ID \Rightarrow IM = IH\)
Mà \(I\) thuộc \(MH\)
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(MH\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Kinh88 là một trang web cá cược trực tuyến hoàn toàn hợp pháp
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên 88Kinh.com . Học online tại nhà cũng Link Vào Nhà Cái King88.com Cập Nhật giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
