Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), đường cao \(AH = h\). Từ điểm \(I\) trên đường cao \(AH\), vẽ
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), đường cao \(AH = h\). Từ điểm \(I\) trên đường cao \(AH\), vẽ đường thẳng song song với \(BC\), cắt hai cạnh \(AB\), \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Vẽ \(MQ\), \(NP\) vuông góc với \(BC\). Đặt \(AI = x\)
a) Tính diện tích tứ giác \(MNPQ\) theo \(a\), \(h\), \(x\).
b) Xác định vị trí điểm \(I\) trên \(AH\) để diện tích tứ giác \(MNPQ\) lớn nhất.
Quảng cáo
a) + Chứng minh \(MNCB\) là hình thang.
+ Chứng minh \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
+Tính \(IH\) và đặt \(MN = y\).
+ Biểu diễn \(y\) theo \(a,\,\,h,\,\,x\)dựa vào công thức diện tích \({S_{ABC}} = {S_{AMN}} + {S_{MNCB}}\).
+ Tính \({S_{MNPQ}}\) theo \(a,\,\,h,\,\,x\)
b) + Tìm giá trị lớn nhất của \({S_{MNPQ}}\) với biểu thức biểu diễn Giải Câu a theo các tìm GTLN đại số với ẩn là \(x\).
+ Xác định điều kiện để đẳng thức xảy ra từ đó kết luận vị trí điểm \(I\) thỏa mãn.
a) Ta có: \(MN//BC\) (gt)
\( \Rightarrow MNCB\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)
Ta có: \(MQ \bot BC\) (gt)
và \(NP \bot BC\) (gt)
\( \Rightarrow MQ//NP\) (quan hệ giữa vuông góc và song song)
mà \(MN//QP\) (vì \(MN//BC\))
Do đó \(MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
mà \(\angle MQP = {90^0}\)(vì \(MQ \bot BC\))
nên \(MNPQ\) là hình chữ nhật (đấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Ta có: \(IH = AH - AI = h - x\)
Đặt \(MN = y\) ta có:
\({S_{ABC}} = {S_{AMN}} + {S_{MNCB}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AI.MN + \frac{1}{2}.\left( {MN + BC} \right).MQ\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.h.a = \frac{1}{2}.x.y + \frac{1}{2}.\left( {y + a} \right).\left( {h - x} \right)\\ \Leftrightarrow a.h = x.y + y.h + a.h - a.x - x.y\\ \Leftrightarrow a.x = y.h\\ \Leftrightarrow y = \frac{{a.x}}{h}\end{array}\)
Do đó \(MN = \frac{{a.x}}{h}\)
Ta có: \({S_{MNPQ}} = MN.MQ = \frac{{a.x}}{h}.\left( {h - x} \right)\)
b) Ta có: \({S_{MNPQ}} = \frac{{a.x}}{h}.\left( {h - x} \right)\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{a}{h}.\left( {h.x - {x^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{a}{h}.\left[ { - \left( {{x^2} - hx + \frac{{{h^2}}}{4}} \right) + \frac{{{h^2}}}{4}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{a}{h}.\left[ { - {{\left( {x - \frac{h}{2}} \right)}^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \right]\end{array}\)
Vì \({\left( {x - \frac{h}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(\, - {\left( {x - \frac{h}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x\), do đó \( - {\left( {x - \frac{h}{2}} \right)^2} + \frac{{{h^2}}}{4} \le \frac{{{h^2}}}{4}\) với mọi \(x\)
\( \Rightarrow \frac{a}{h}.\left[ { - {{\left( {x - \frac{h}{2}} \right)}^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \right] \le \frac{a}{h}.\frac{{{h^2}}}{4} = \frac{{ah}}{4}\) với mọi \(x\)
Hay \({S_{MNPQ}} \le \frac{{a.h}}{4}\)
Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x - \frac{h}{2} = 0\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{h}{2}\)
\( \Leftrightarrow I\)là trung điểm của \(AH\)
Vậy diện tích \(MNPQ\)đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{a.h}}{4}\) khi \(I\)là trung điểm của \(AH\).
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 8 trên 88Kinh.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
