Tìm số tự nhiên \(n\) để phân số \(A = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}\): a) Có giá trị là số tự
Tìm số tự nhiên \(n\) để phân số \(A = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}\):
a) Có giá trị là số tự nhiên.
b) Là phân số tối giản.
c) Với giá trị nào của \(n\) trong khoảng từ \(150\) đến \(170\) thì phân số \(A\) rút gọn được.
Quảng cáo
a) Phân số có giá trị là số tự nhiên thì phân số đó có tử và mẫu cùng dấu, tử số chia hết cho mẫu số.
b) Phân số là phân số tối giản thì phân số đó có tử và mẫu có ước chung là \(1\) và \( - 1.\)
a) \(A = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}} = \frac{{2.4n + 2.3 + 187}}{{4n + 3}}\)\( = \frac{{2.\left( {4n + 3} \right) + 187}}{{4n + 3}} = 2 + \frac{{187}}{{4n + 3}}\)
Để \(A \in \mathbb{N}\) thì \(\frac{{187}}{{4n + 3}} \in \mathbb{N} \Rightarrow 4n + 3 \in U\left( {187} \right) = \left\{ {1;\,\,11;\,\,\,17;\,\,187} \right\}\) .
Vì \(n \in \mathbb{N} \Rightarrow 4n + 3 \in \left\{ {11;\,\,17;\,\,187} \right\}.\) Ta có bảng sau:
Vậy với \(n \in \left\{ {2;\,\,46} \right\}\) thì phân số \(A = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}\) nhận giá trị là số tự nhiên.
b) Gọi \(d\) là ước nguyên tố của \(8n + 193\) và \(4n + 3\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}8n + 193\,\, \vdots \,\,d\\4n + 3\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8n + 193\,\, \vdots \,\,d\\2.\left( {4n + 3\,} \right)\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8n + 193\,\, \vdots \,\,d\\8n + 6\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {8n + 193} \right) - \left( {8n + 6} \right)\,\, \vdots \,\,d\)
\( \Rightarrow 8n + 193 - 8n - 6\,\, \vdots \,\,d\)
\( \Rightarrow 187\,\, \vdots \,\,d\) mà \(d\) là số nguyên tố nên \(d \in \left\{ {11;\,\,17} \right\}.\)
+) Với \(d = 11 \Rightarrow 4n + 3\,\, \vdots \,\,11 \Rightarrow 4n + 3 - 11\,\, \vdots \,\,11\)\( \Rightarrow 4n - 8\,\, \vdots \,\,11 \Rightarrow 4.\left( {n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,11\)
\( \Rightarrow n - 2\,\, \vdots \,\,11 \Rightarrow n = 11k + 2\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
+) Với \(d = 17 \Rightarrow 4n + 3\,\, \vdots \,\,17 \Rightarrow 4n + 3 + 17\,\, \vdots \,\,17\)\( \Rightarrow 4n + 20\,\, \vdots \,\,17 \Rightarrow 4.\left( {n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,17\)
\( \Rightarrow n + 5\,\, \vdots \,\,17 \Rightarrow n + 5 = 17m \Rightarrow n = 17m - 5\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
\( \Rightarrow \) Phân số \(A = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}\) rút gọn được khi \(n = 11k + 2\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) và \(n = 17m - 5\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Vậy \(n \ne 11k + 2\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) và \(n \ne 17m - 5\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì \(A = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}\) là phân số tối giản.
c) Để phân số \(A = \frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}\) rút gọn được thì \(n = 11k + 2\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) và \(n = 17m - 5\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Vì \(n\) trong khoảng từ \(150\) đến \(170\) nên:
+) \(150 < n < 170 \Rightarrow 150 < 11k + 2 < 170\)\( \Rightarrow 148 < 11k < 168\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow k \in \left\{ {14;15} \right\} \Rightarrow n \in \left\{ {156;\,\,167} \right\}\)
+) \(150 < n < 170 \Rightarrow 150 < 17m - 5 < 170\)\( \Rightarrow 155 < 17m < 175\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow m = 10 \Rightarrow n = 165\)
Vậy \(n \in \left\{ {156;\,165;\,167} \right\}\).
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 88Kinh đăng ký trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên 88Kinh.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết Kinh88 trực tiếp đá gà hôm nay 888 tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
