Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(2.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm nằm trên
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(2.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh \(AA',BB'\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AA'\) và \(BN = \frac{1}{2}NB'.\) Đường thẳng \(CM\) cắt đường thẳng \(C'A'\) tại \(P,\) đường thẳng \(CN\) cắt đường thẳng \(C'B'\) tại \(Q.\) Tính thể tích \(V\) của khối đa diện \(A'MPB'NQ.\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Phân chia khối hộp để tính thể tích \({V_{C.ABNM}} \Rightarrow {V_{CC'B'NMA'}}\)
Tính thể tích khối chóp \({V_{C.C'A'B'}} \Rightarrow {V_{C.C'PQ}}\)
Tính \({V_{A'MPB'NQ}} = {V_{C.C'PQ}} - {V_{CC'B'NMA'}}\)
Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}h.S\) với \(h\) là chiều cao hình chóp và \(S\) là diện tích đáy.
Công thức tính thể tích lăng trụ \(V = h.S\) với \(h\) là chiều cao hìnhlăng trụ và \(S\) là diện tích đáy.
Ta có \({V_{C.A'B'C'}} = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}\)
Suy ra \({V_{C.ABB'A'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.A'B'C'}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\)
Ta thấy \(ABNM\) là hình thang nên
\(\begin{array}{l}{S_{ABNM}} = \frac{{\left( {AM + BN} \right)d\left( {BN;AM} \right)}}{2} = \frac{{\left( {\frac{{AA'}}{2} + \frac{{BB'}}{3}} \right).d\left( {BB',AA'} \right)}}{2}\\ = \frac{{\left( {\frac{{AA'}}{2} + \frac{{AA'}}{3}} \right).d\left( {BB',AA'} \right)}}{2} = \frac{5}{{12}}AA'.d\left( {BB',AA'} \right)\end{array}\)
Mà \({S_{ABB'A'}} = AA'.d\left( {AA',BB'} \right) \Rightarrow {S_{ABNM}} = \frac{5}{{12}}.{S_{ABB'A'}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {ABNM} \right)} \right).{S_{ABNM}} = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).\frac{5}{{12}}.{S_{ABB'A'}}\\ = \frac{5}{{12}}.\frac{1}{3}d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'A'}} = \frac{5}{{12}}.{V_{CABB'A'}}.\end{array}\)
Mà \({V_{C.ABB'A'}} = \frac{4}{3}\left( {cmt} \right) \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = \frac{5}{{12}}.\frac{4}{3} = \frac{5}{9}.\)
Suy ra \({V_{CC'B'NMA'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABNM}} = 2 - \frac{5}{9} = \frac{{13}}{9}.\)
Ta có \(A'M//CC' \Rightarrow \frac{{PA'}}{{PC'}} = \frac{{A'M}}{{CC'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow PA' = \frac{1}{2}PC' = A'C' \Rightarrow PC' = 2A'C'\)
Và \(B'N//CC' \Rightarrow \frac{{B'N}}{{CC'}} = \frac{{QB'}}{{QC'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow QC' = 3B'C'\)
Mà \({S_{A'B'C'}} = \frac{1}{2}C'A'.C'B'\sin C'\)
\( \Rightarrow {S_{C'PQ}} = \frac{1}{2}C'P.C'Q.\sin C' = \frac{1}{2}.2.A'C'.3B'C'\sin C = 6.\left( {\frac{1}{2}A'C'.B'C'\sin C} \right) = 6{S_{A'B'C'}}\)
Ta có: \({V_{C.C'PQ}} = \frac{1}{3}d\left( {C;\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{C'PQ}} = \frac{1}{3}d\left( {C;\left( {A'B'C'} \right)} \right).6{S_{C'A'B'}} = 6.{V_{C.A'B'C'}} = 6.\frac{2}{3} = 4.\)
Từ đó \({V_{A'MPB'NQ}} = {V_{C.C'PQ}} - {V_{CC'B'NMA'}} = 4 - \frac{{13}}{9} = \frac{{23}}{9}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại 88Kinh.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức chuyên sâu; King88 vn club nhà cái bóng đá world cup đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
0923 342 545
-
0934 823 854
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: [email protected]
