Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,2x - 4y + 6z - 1 = 0\) , \(\left( \beta \right):\,\,x + 3y - 2z + 6 = 0;\,\,\left( \gamma \right):\,\,x - 3y - 8z + 3 = 0\). Gọi d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\), d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) và \(\left( \gamma \right)\), d3 là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \gamma \right)\). Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức đại học môn toán

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,2x - 4y + 6z - 1 =

Câu hỏi số 244994:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,2x - 4y + 6z - 1 = 0\) , \(\left( \beta \right):\,\,x + 3y - 2z + 6 = 0;\,\,\left( \gamma \right):\,\,x - 3y - 8z + 3 = 0\). Gọi d₁ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\), d₂ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) và \(\left( \gamma \right)\), d₃ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \gamma \right)\). Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. d₁, d₂ và d₃ đồng quy

B. d₁, d₂, d₃ đôi một chéo nhau.

C. d₁, d₂ và d₃ đồng phẳng

D. d₁ // d₂ // d₃.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:244994

Phương pháp giải

Tìm phương trình các đường thẳng d₁, d₂ và d₃.

Nhận xét các vector chỉ phương của d₁, d₂ và d₃ không cùng phương.

Tính \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} \) với \(\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} \) là VTCP của d₁ và d₂, \(A \in {d_1};B \in {d_2}\).

- Nếu \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} \ne 0 \Rightarrow {d_1},{d_2}\) chéo nhau thì loại đáp án A và C.

- Nếu \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow {d_1},{d_2}\) cắt nhau thì loại đáp án B. Khi đó tìm \(M = {d_1} \cap {d_2}\) và thay tạo độ điểm M vào phương trình d₃. Nếu \(M \in {d_3} \Rightarrow \) d₁, d₂ và d₃ đồng quy.

Giải chi tiết

Xét hệ phương trình

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 4y + 6z - 1 = 0 \hfill \cr x + 3y - 2z + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x - 4y + 6z - 1 = 0 \hfill \cr 3x + 9y - 6z + 18 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5x + 5y + 17 = 0 \hfill \cr 2x - 4y + 6z - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y - {{17} \over 5} \hfill \cr - 2y - {{34} \over 5} - 4y + 6z - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - y - {{17} \over 5} \hfill \cr - 6y + 6z - {{39} \over 5} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - y - {{17} \over 5} \hfill \cr z = y + {{39} \over {30}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Đặt \(y = t \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {{17} \over 5} - t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = {{39} \over {30}} + t \hfill \cr} \right.\) là phương trình đường thẳng d₁.

Tương tự như vậy ta tìm được phương trình đường thẳng d₂là : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{2} + 5t'\\y = - \frac{1}{2} - t'\\z = t'\end{array} \right.\)

và phương trình đường thẳng \({d_3}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{2} - 25t''\\y = \frac{7}{2} - 11t''\\z = t''\end{array} \right.\)

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right);\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {5; - 1;1} \right);\,\,\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 25; - 11;1} \right)\) không cùng phương nên loại đáp án D.

Lấy \(A\left( { - {{17} \over 5};0;{{39} \over {30}}} \right) \in {d_1},\,\,B\left( {{{ - 9} \over 2}; - {1 \over 2};0} \right),\,\,C\left( {{{15} \over 2};{7 \over 2};0} \right) \in {d_3}\)

Xét \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;6; - 4} \right);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - {{11} \over {10}}; - {1 \over 2}; - {{39} \over {30}}} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow {d_1};{d_2}\) cắt nhau \( \Rightarrow \) Loại đáp án B.

Xét hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}- \frac{{17}}{5} - t = - \frac{9}{2} + 5t'\\t = - \frac{1}{2} - t'\\\frac{{39}}{{30}} + t = t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 9}}{{10}}\\t' = \frac{2}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{5}{2}; -\frac{9}{{10}};\frac{2}{5}} \right)\) là giao điểm của d₁ và d₂.

Thay tạo độ điểm M vào phương trình đường thẳng d₃ta có : \({d_3}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}- \frac{5}{2} = \frac{{15}}{2} - 25t''\\- \frac{9}{{10}} = \frac{7}{2} - 11t''\\\frac{2}{5} = t''\end{array} \right. \Rightarrow t'' = \frac{2}{5} \Rightarrow M \in{d_3}\)

Vậy ba đường thẳng d₁, d₂ và d₃ đồng quy tại \(M\left( { - {5 \over 2}; - {9 \over {10}};{2 \over 5}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại 88Kinh.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Trang Chủ Nhà Cái King.Com Chính Thức chuyên sâu; King88 vn club nhà cái bóng đá world cup đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.